Teori (2 SKS)
1. Metode Numerik secara umum
2. Deret Taylor dan Analisis Kesalahan
3. Solusi persamaan nonlinear
4. Solusi sistem persamaan linear
5. Interpolasi dan Regresi
6. Integrasi Numerik
7. Diferensiasi Numerik
8. Solusi Persamaan Dferensial
9. Aplikasi PD Numerik pada MKG (Meteorologi, Klimatologi, dan Geofisika)
Praktek (1 SKS)
1. Algoritma
2. Pengenalan MATLAB
3. Praktek dengan modul mengikuti teori
Buku Referensi :
1. Rinaldi Munir, Metode Numerik, Penerbit Informatika, Bandung, 2010
2 Agus Marsono, Modul Metoda Numerik, AMG, 2009
3. Jaan kiusalaas, Numerical Methods in Enginering with MAtlab, Cambridge University Press, 2005
4. John H Mathews, Numerical Methods using Matlab, Prentice Hall, 1999
Kunci belajar metode numerik
1. Latihan
2. Teliti
3. Sabar
4. Berdoa
METODE NUMERIK SECARA UMUM
Katakanlah kita akan mengukur sebuah tembok menggunakan estimasi. Si A beranggapan tinggi tembok 260 cm, si B 320 cm, si C, 290 cm, si D 340 cm. Ternyata setelah diukur menggukana alat yang tepat tinggi tembok tersebut 280 cm. Maka dalam hal ini anggapan tersebut dinamakan pendekatan sedangkan hasil aslinya dinamakan solusi pasti/exact yang memiliki error = 0.
Numerik berbicara mengenai pendekatan yang paling baik dengan cara yang tepat. Pendekatan terbaik adalah yang memiliki error paling kecil. Anggapan si A 260 cm, sedangkan aslinya 280 cm maka errornya adalah ±20 cm, si B ±40 cm, si C ±10 cm, si ±D, 60 cm. Oleh karena itu, pendekatan yang paling baik dimiliki oleh si C.
Pada kasus lain, 6/2 = 3 menghasilkan solusi exact/pasti karena error = 0. Sedangkan ketika 10/3 maka akan menghasilkan 0,33333 sampai tak berhingga. maka 0,33333 tersebut adalah pendekatan sedangkan 0,0000033333 adalah error. Kita anggap pendekatan memiliki 5 angka dibelakang koma.
Matematika dapat diselesaikan dengan tiga cara yaitu metode analitik, metode grafik, dan metode numerik. contoh metode analitik seperti pada kasus berikut (polinom derajat satu/linear)
2x+y=9
2x-y=5
kita bisa memperoleh nilai x dan y dengan eliminasi
atau pada polinom derajat dua/parabola
x2+x-6 = 0
kita akan memperoleh nilai x = -3 dan x = 2
Tetapi ketika kita memiliki banyak variabel akan sangat sulit diperoleh dengan metode analitik seperti pada kasus berikut
x5+x4+x3+x2+x-1 = 0
Metode numerik berusaha menyelesaikan permasalan yang sulit dipecahkan oleh metode analitik.
Metode analitik juga disebut metode eksak
Metode numerik hanya menggunakan operasi + , - , * , /
Pendahuluan
Banyak persoalan yang melibatkan model matematika dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan (fisika, teknik, meteorologi, geofisika, dll). Seringkali model matematika tersebut sangat rumit sehingga tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus alabar yang sudah lazim.
Model Matematika
Misal model matematika sbb : y = 2x + 15 akan menghasilkan solusi secara eksak(pasti, dengan error = 0), dengan metode analitis yaitu : x = -7.5 ketika kurva memotong sumbu x.
kasus lain, x2-7x+12 = 0 akan menghasilkan solusi eksak(pasti, dengan error = 0) dengan metode analitis yaitu : x=3, dan x=4 ; x(3,4)
Persoalan matematika
Ketika kita mendapatkan persoalan matematika seperti persamaan polinom ini 23.4x5-1.25x4+3x3+2x2+x-12=0 atau sistem persamaan linear dengan banyak variabel maka akan sulit dipecahkan dengan metode analitik. Untuk polinom derajat 2 bisa dipecahkan dengan rumus abc sedangkan polinom dengan derajat >2 tidak ada rumus baku untuk menyelesaikannya selain dengan cara pemfaktoran. Ketika derajatnya semakin tinggi tentu akan angat sukar dipecahkan.Cara analitis akan mudah diterapkan ketika sistem pers linear mempunyai peubah (variabel) yang sedikit.
Metode Analitik vs Metode Numerik
Metode analitik disebut juga metode exact yg menghasilkan solusi pasti (exact). Metode analitik unggul pada sejumlah persoalan yang terbatas. Padahal, pada kenyataannya kebanyakan persoalan matematika memiliki solusi yang rumit sehingga tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Kalau metode analitik tidak bisa diterapkan, maka menggunakan metode numerik adalah solusinya. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan biasa (+,-,*,/).
Perbedaan Metode Numerik dan Metode Analitik
Metode Numerik
- Solusi selalu berbentuk angka- solusi yang dihasilkan merupakan solusi pendekatan sehingga terdapat error
Metode Analitik
- Solusi dapat berupa fungsi matematik
- solusi yang dihasilkan solusi exact
Kesalahan Numerik
Kesalahan numerik adalah kesalahan yang timbul karena adanya proses pendekatan.
Hubungan kesalahan dan penyelesaian adalah :
X = x + e
X = nilai yang sebenarnya (nilai eksak)
x = nilai pendekatan yang dihasilkan dari metode numerik
e = kesalahan numerik
Kesalahan fraksional adalah prosentase antara kesalahan dan nilai sebenarnya
E = (e/X) x 100%
pada banyak permasalah kesalahan fraksional sulit atau tidak bisa dihitung karena nilai eksaknya tidak diketahui sehingga dihitung berdasarkan nilai pendekatan yang diperoleh
E = (e/x) x 100%
dimana e pada waktu ke n adalah selisih nilai pendekatan ke n dan ke n-1
Perhitungan kesalahan semacam ini dilakukan untuk mencapai keadaan konvergensi pada suatu proses iterasi.
Peranan Komputer dalam Metode Numerik
Perhitungan dalam metode numerik berupa operasi aritmatika dan dilakukan berulang kali, sehingga komputer untuk mempercepat proses perhitungan tanpa membuat kesalahan.
Dengan komputer kita dapat mencoba berbagai kemungkinan solusi yang terjadi akibat perubahan beberapa parameter. Solusi yang diperoleh juga dapat ditingkatkan ketelitiannya dengan mengubah nilai parameter
Peran Metode Numerik
Metode numerik merupakan alat bantu untuk memecahkan masalah matematika yang sangat ampuh. Metode numerik mampu menyelesaikan sistem persamaan linear yang besar dan persamaan-persmaan yang rumit.
Merupaan penyederhanaan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi matematika yang mendasar.
Sumber
1. PPT perkuliahan Metode Numerik
2. Penjelasan Bapak Agus Marsono
0 Komentar